Utilidad cuasilineal

En economía y en la teoría de la decisión, las funciones de utilidad cuasilineales son funciones de utilidad que son lineales en un argumento, generalmente el numeraire. Las preferencias cuasilineales pueden representarse mediante la función de utilidad $u(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=x+\theta _{1}(y_{1})+\cdots +\theta _{n}(y_{n})$, donde $\theta _{i}$ es estrictamente creciente y cóncava. Una propiedad útil de la función de utilidad cuasilineal es que la demanda Marshalliana/Walrasiana de $y_{1},\ldots ,y_{n}$ no depende de la riqueza y, por lo tanto, no está sujeta a un efecto riqueza. p. 165–166. La ausencia de un efecto riqueza simplifica el análisis p. 222. y convierte a las funciones cuasilineales en una elección común para modelización. Además, cuando la utilidad es cuasilineal, la variación compensatoria (CV), la variación equivalente (EV) y el excedente del consumidor son algebraicamente equivalentes. p. 163. En el diseño de mecanismos, la utilidad cuasilineal asegura que los agentes puedan compensarse mutuamente mediante pagos laterales.

Definición en términos de preferencias

Una relación de preferencia $\succsim$ es cuasilineal con respecto al bien 1 (llamado en este caso el bien numeraire) si:

• Todos los conjuntos de indiferencia son desplazamientos paralelos unos de otros a lo largo del eje del bien 1. Es decir, si un vector de consumo «x» es indiferente a un vector «y» (x~y), entonces $(x+\alpha e_{1})\sim (y+\alpha e_{1}),\;\forall \alpha \in \mathbb {R} ,\;e_{1}=(1,0,\ldots ,0)$.
• El bien 1 es deseable; esto es, $(x+\alpha e_{1})\succ x,\;\forall \alpha >0$.

En otras palabras: una relación de preferencias es cuasilineal si existe un bien, llamado numeraire, que desplaza hacia afuera las curvas de indiferencia a medida que aumenta su consumo, sin cambiar su pendiente.

En el caso bidimensional, las curvas de indiferencia son paralelas. Esto es útil porque permite que toda la función de utilidad quede determinada a partir de una única curva de indiferencia.

Definición en términos de funciones de utilidad

Una función de utilidad es cuasilineal en el bien x si tiene la forma:

$u(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=x+\theta _{1}(y_{1})+\cdots +\theta _{n}(y_{n})$,

donde $\theta _{i}$ es una función arbitraria. En el caso de dos bienes, esta función podría ser, por ejemplo, $u(x,y)=x+{\sqrt {y}}$.

La forma cuasilineal es especial porque las funciones de demanda de todos los bienes de consumo excepto uno dependen únicamente de la relación entre ese bien y el bien numeraire (x) y no del ingreso.

Ejemplo:

$u(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=x+\theta _{1}(y_{1})+\cdots +\theta _{n}(y_{n})$,

donde $\theta _{i}(y_{i})$ es estrictamente creciente y cóncava (esto es, ${\frac {d\theta _{i}(y_{i})}{dy_{i}}}>0$, ${\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}^{2}}}\theta _{i}(y_{i})<0$).

Entonces, maximizando la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria:

$p_{x}x+\sum _{i=1}^{n}p_{i}y_{i}\leq I$

se obtienen las condiciones de primer orden para solución interior:

${\frac {d\theta _{i}(y_{i})}{dy_{i}}}={\frac {p_{i}}{p_{x}}}$.

Por lo tanto, la función de demanda del bien i es:

$y_{i}(p_{i},I)={\frac {(\theta _{i}')^{-1}p_{x}}{p_{i}}}$,

que es independiente del ingreso I. Además, el bien i es sustituto del bien x: la demanda del bien i aumenta cuando aumenta el precio de x.

La utilidad indirecta en este caso es:

$v(p_{x},p_{1},\ldots ,p_{n},I)=\left({\frac {I-np_{x}}{p_{x}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}\theta _{i}\!\left({\frac {p_{x}}{p_{i}}}\right)$.

Si normalizamos el precio de x a 1 (es decir, el precio de los otros bienes es su precio relativo respecto a x), obtenemos:

$v(p_{x},p_{1},\ldots ,p_{n},I)=(I-n)+\sum _{i=1}^{n}\theta _{i}\!\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)$,

lo que constituye un caso especial de la forma polar de Gorman. p. 154, 169.

Equivalencia de definiciones

Las definiciones cardinal y ordinal son equivalentes en el caso de un conjunto de consumo convexo con preferencias continuas que sean localmente no saciadas en el primer argumento.Plantilla:Requiere referencias

Véase también

• Función cuasiconvexa
• Utilidad lineal — un caso especial de función de utilidad cuasilineal.