Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum, expresión latina que significa literalmente 'reducción al absurdo', es uno de los métodos lógicos de demostración más usado en matemáticas para demostrar la validez (o invalidez) de proposiciones categóricas.

Se parte por suponer como hipotética falsedad de la tesis de la proposición a demostrar y, mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas, se pretende llegar a una contradicción lógica, un absurdo. De llegar a una contradicción, se concluye que la tesis (que se había supuesto falsa al principio) ha de ser verdadera.

Para demostrar la invalidez de una proposición, se supone como punto de partida que la proposición es cierta. Si la derivación final es una contradicción, se concluye que la proposición original es falsa y el argumento es inválido.

A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento del Principio de no contradicción: una proposición que no puede ser falsa es necesariamente verdadera, y una proposición que no puede ser verdadera es necesariamente falsa.

Se busca llegar a una contradicción. Si se llega a una contradicción, lo contrario es cierto, y se establecería lo que se desea. En términos lógicos: si queremos demostrar la proposición J, asumimos que "no J" es correcta. Mediante deducciones lógicas a partir de "no J", llegamos a una contradicción. Entonces se concluye que "no J" no es cierta y, por lo tanto, J debe ser verdadera.

Su uso en matemáticas

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento muy empleado en demostraciones matemáticas.

Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera, probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción, por lo cual sería verdadera.

Para obtener una prueba válida debe demostrarse que, dada una proposición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \,\!} , «no Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \,\!} » implica una propiedad falsa en el sistema matemático utilizado. El peligro es la falacia lógica de la argumentación por ignorancia, mediante la cual se prueba que «no Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \,\!} » implica una propiedad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q \,\!} que parece falsa, pero que realmente no se ha demostrado tal falsedad.

Un ejemplo clásico de esta falacia es la falsa demostración de un quinto postulado de Euclides a partir de los anteriores. Debido a que cuando se establecieron esas pruebas no existía otra Geometría que la euclidiana, parecían correctas. Tras la aparición de otras geometrías se demostró que el sistema era incorrecto. Para una explicación más profunda de estas falacias puede verse Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times, de Morris Kline.

Aunque en demostraciones matemáticas este método se utiliza con gran libertad, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como universalmente válida. En escuelas como la del intuicionismo, la ley de exclusión de intermedios no se acepta como válida. Desde este punto de vista hay una diferencia muy significativa entre demostrar que mediante un ejemplo real de un «algo» que existe sería absurdo demostrar su no existencia.

Ejemplos

No existe un número racional mínimo mayor que cero

Supongamos que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Entonces P debería no ser falsa. Por lo tanto, tiene que ser verdadera.

Por ejemplo, considérese la proposición «no existe un número racional mínimo mayor que cero». En una reducción al absurdo se comenzaría por asumir lo contrario y nuestra tesis sería: existe un número racional mínimo mayor que cero: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_0} .

Ahora tomemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=r_0/2} . Por lo tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} es un número racional mayor que cero, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x<r_0} . Eso es un absurdo, pues contradice la hipótesis de partida de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_0} era el número racional mínimo. Por lo tanto, se debe concluir que la proposición asumida como cierta: «hay un número racional mínimo mayor que cero» es falsa.

No es inusual utilizar este tipo de razonamientos con proposiciones como la enunciada, acerca de la inexistencia de cierto elemento matemático. Se supone que ese elemento existe y se prueba que eso conduce a una contradicción. Por lo tanto, ese objeto no existe.

¿Hay infinitos números primos?

Existen numerosas demostraciones sobre que existen infinitos números primos, la primera de la que se tiene constancia es de Euclides, donde queda demostrado mediante Reductio ad absurdum en la Proposición 20 del libro IX de Elementos (Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos).

Partiendo de suponer que lo cierto es lo contrario, por lo cual nuestra tesis quedaría: «Los números primos son finitos», entonces tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} números primos que serían Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=p_1, p_2, ... ,p_n} .

Entonces se toma ahora el siguiente número:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=p_1\cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n +1 }

Tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } es el producto de todos los números primos más 1, y  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } no es un número primo, pues no se encuentra en la lista anterior, entonces por definición  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } es un número compuesto y debe ser divisible por algún número primo.

Si hacemos la división entre cualquier número primo de la lista Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=p_1, p_2, ... ,p_n} , nos sale resto 1, por lo cual debe existir al menos otro número primo que no se encuentra en esa lista.

Entonces llegamos a una contradicción de nuestra tesis «Los números primos son finitos» que es falsa, por lo cual existen infinitos números primos.

La raíz cuadrada de 2 es irracional

Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial (nuestra tesis) es la contraria, es decir, que: «la raíz cuadrada de 2 es un número racional».

Al ser un número racional, vamos a expresarlo como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p/q} ; entonces quedaría:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2} = \frac{p}{q}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p, q \in\Zeta/q\neq0} (donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} son números enteros, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q} es distinto de 0).

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que p y q son positivos (si los dos fueran negativos, bastaría multiplicarlos por -1) y que son primos entre sí, es decir, no comparten factor común alguno (ya que si hubiera factores comunes, los podemos simplificar y quedarnos con la fracción irreducible resultante). Ahora elevamos ambos miembros al cuadrado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2 = \frac{p^2}{q^2}}

Multiplicando en ambos lados por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q^2 \,\!} , se tiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2q^2 = p^2 \,\!}

La expresión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2q^2 \,\!} es un número par, por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p \,\!} también es par (de no serlo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p^2 \,\!} no sería par, y no se podría cumplir la igualdad).

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p=2n \,\!} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n \,\!} es un número entero. Sustituyendo, la expresión quedaría:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2q^2=(2n)^2=4n^2 \,\!}

Podemos simplificar dividiendo por dos en ambas partes y obtener que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q^2=2n^2 \,\!}

Por el mismo razonamiento de antes, donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2n^2 \,\!} es un número par, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q^2 \,\!} también es par, como lo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q \,\!} .

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p \,\!} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q \,\!} son pares, tienen al menos un factor común, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2 \,\!} . Esto entra en contradicción con la suposición anterior, de que los números Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p \,\!} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q \,\!} no tenían factores en común. Como esta elección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p \,\!} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q \,\!} se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, ello implica que la premisa inicial de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}} era racional es falsa.
Luego Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}} es irracional. Q.E.D.

Lógica

En lógica simbólica la reducción al absurdo se expresa así:

Si

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entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \vdash P}

En esta representación, P es la proposición por demostrar, y S es una serie de proposiciones previas tomadas como ciertas. Por ejemplo, los axiomas de la teoría en la que se ha trabajado o los teoremas anteriores ya demostrados. Considérese la negación de P en conjunto con S. Si esto lleva a una contradicción F se puede concluir que S conduce necesariamente a P.

En palabras de G. H. Hardy: «La reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la Matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida».

Véase también

• Modus tollendo tollens
• Reductio ad Hitlerum
• Prueba por contradicción
• Lista de prejuicios cognitivos