Edición de «Volumen»

{{otros usos}}

[[Archivo:Basic shapes.svg|miniatura|Cuerpos geométricos o figuras geométricas «sólidas» que delimitan volúmenes]]
[[Archivo:Plastic measuring cup 2017 B1.jpg|miniatura|Jarra [[Aforo (química)|aforada]] para medir el volumen de líquidos]]
El '''volumen'''<ref>{{cita web |url=http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/93_iniciacion_interactiva_materia/curso/materiales/propiedades/volumen.htm |título=El volumen y su medida |fechaacceso=18 de febrero de 2016}}</ref> es una [[magnitud física|magnitud]] [[tensor métrico|métrica]] de tipo [[Escalar (física)|escalar]]<ref>Carlos Mosquera, ''[http://materias.fi.uba.ar/6201/MosqVectoresacr.pdf Magnitudes escalares y vectoriales] {{Wayback|url=http://materias.fi.uba.ar/6201/MosqVectoresacr.pdf |date=20131029201259 }}'', 11{{esd}}pp.</ref> Definida como la extensión en [[Tridimensional|tres dimensiones]] de una región del [[espacio (física)|espacio]]. Es una [[unidades derivadas del Sistema Internacional|magnitud derivada]] de la [[longitud]], ya que un [[ortoedro]] se halla multiplicando tres longitudes: el largo, el ancho y la [[altura (geometría)|altura]]. Matemáticamente, el volumen es definible no solo en cualquier espacio euclídeo, sino también en otro tipo de espacios métricos que incluyen por ejemplo a las [[variedad de Riemann|variedades de Riemann]].

Desde un punto de vista [[Física|físico]], los [[objeto físico|cuerpos]] [[materia]]les ocupan un volumen por el hecho de ser extensos, fenómeno que se debe al [[principio de exclusión de Pauli]]. La noción de volumen es más complicada que la de superficie y en su uso formal puede dar lugar a la llamada [[paradoja de Banach-Tarski]].

La '''[[unidad de medida]]''' de volumen en el [[Sistema Internacional de Unidades]] es el [[metro cúbico]]. En el [[sistema métrico decimal]], una unidad de volumen para sólidos era el [[Estéreo (unidad)|estéreo]], igual al metro cúbico, pero actualmente poco usada. En ese mismo sistema, para medir la capacidad de líquidos, se creó el [[litro]], que es aceptado por el SI. Por razones históricas, existen unidades separadas para ambas; sin embargo, están relacionadas por la equivalencia entre el litro y el [[decímetro cúbico]]:
:1 dm³ = 1{{esd}}litro = 0,001{{esd}}m³ = 1000{{esd}}cm³.

== Historia ==
=== Historia antigua ===
[[Archivo:Pompeji_6_Hohlmaße_aus_Glas.jpg|miniatura|6&nbsp;medidas volumétricas de la ''mens ponderia'' de [[Pompeya]], una antigua institución municipal para el control de pesos y medidas]]
La precisión de las mediciones de volumen en la época antigua suele oscilar entre 10–50 mL (0.3–2 US fl oz; 0.4–2 imp fl oz).<ref name=":3" />{{Rp|page=8}} Las primeras evidencias de cálculo de volumen proceden del [[antiguo Egipto]] y [[Mesopotamia]] como problemas matemáticos, aproximando el volumen de formas simples como [[cuboide]]s, [[cilindro]]s, [[frustum]] y [[Cono (geometría)|cono]]s. Estos problemas matemáticos han sido escritos en el [[Papiro de Moscú|Papiro Matemático de Moscú]] (c. {{esd|1820 a. C.}}).<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} En el [[Papiro Reisner]], los antiguos egipcios han escrito unidades concretas de volumen para granos y líquidos, así como una tabla de longitud, anchura, profundidad y volumen para bloques de material.<ref name=":3">{{Cite book |last=Imhausen |first=Annette |url= |title=Matemáticas en el Antiguo Egipto: A Contextual History |date=2016 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7430-9 |location= |oclc=934433864}}</ref>{{Rp|page=116}} Los egipcios utilizan sus unidades de longitud (el [[cubit]], [[Palm (unidad)|palm]], [[Digit (unidad)|digit]]) para idear sus unidades de volumen, como el cubit de volumen<ref name=":3" />{{Rp|page=117}} o negar<ref name=":2" />{{Rp|page=396}} (1 cúbito × 1 cúbito × 1 cúbito), volumen palma (1 cúbito × 1 cúbito × 1 palma) y volumen dígito (1 cúbito × 1 cúbito × 1 dígito).<ref name=":3" />{{Rp|page=117}}

Los tres últimos libros de [[Elementos de Euclides|Euclid's ''Elements'']], escritos en torno al año {{esd|300 a. C.}}, detallaban las fórmulas exactas para calcular el volumen de [[paralelepípedo]]s, conos, [[Pirámide (geometría)|pirámides]], cilindros y [[esfera]]s. Las fórmulas fueron determinadas por matemáticos anteriores utilizando una forma primitiva de [[Integral|integración]], descomponiendo las formas en piezas más pequeñas y sencillas.<ref name=":2">{{Cite book |last=Treese |first=Steven A. |title=Historia y medida de la base y unidades derivadas |date=2018 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-3-319-77577-7 |location=Cham, Suiza |lccn=2018940415 |oclc=1036766223}}}</ref>{{Rp|page=403}} Un siglo más tarde, [[Arquímedes]] ({{Circa|287-{{esd|212 a. C.}}}}) ideó la fórmula aproximada del volumen de varias formas utilizando el enfoque del [[método de agotamiento]], es decir, derivar soluciones a partir de fórmulas anteriores conocidas de formas similares. La integración primitiva de formas también fue descubierta independientemente por [[Liu Hui]] en el {{siglo|III||s}} EC, [[Zu Chongzhi]] en el {{siglo|V||s}} EC, el [[Medio Oriente]] y la [[India]].<ref name=":2" />{{Rp|page=404}}

Arquímedes también ideó una forma de calcular el volumen de un objeto irregular, sumergiéndolo bajo el agua y midiendo la diferencia entre el volumen de agua inicial y final. La diferencia de volumen de agua es el volumen del objeto.<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} Aunque muy popularizada, Arquímedes probablemente no sumerge la corona de oro para hallar su volumen y, por tanto, su densidad y pureza, debido a la extrema precisión que ello implica.<ref name="inexactitud">{{cite web |last=Rorres |first=Chris |title=La corona de oro |url=http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro. html |url-status= |archive-url=https://web.archive.org/web/20090311051318/http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |archive-date=11 de marzo de 2009 |access-date=24 de marzo de 2009 |publisher=[[Drexel University]]}}</ref> En su lugar, es probable que ideara una forma primitiva de [[equilibrio hidrostático]]. En ella, la corona y un trozo de oro puro con un peso similar se colocan en ambos extremos de una [[balanza]] sumergida bajo el agua, que se inclinará en consecuencia debido al [[principio de Arquímedes]].<ref name=":7">{{Cite journal |last=Graf |first=E. H. |date=2004 |title=¿Qué dijo Arquímedes sobre la flotabilidad? |url=https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |journal=The Physics Teacher |volume=42 |issue=5 |pages=296-299 |bibcode=2004PhTea..42..296G |doi=10.1119/1.1737965 |access-date=2022-08-07 |archive-date=2021-04-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210414102422/https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |url-status= |issn=0031-921X}}</ref>

=== Cálculo y normalización de unidades ===
{{AP|Historia del cálculo|Sistema de medidas de los boticarios}}
[[Archivo:"How to Measure" diagram, with graduated cylinder measuring fluid drams, 1926.jpg|alt=Verter líquido en un matraz marcado|izquierda|miniatura|Diagrama que muestra cómo medir el volumen usando una probeta graduada con marcas de [[fluid dram]], 1926]]
En la [[Edad Media]] se crearon muchas unidades para medir el volumen, como el [[Medidas y pesos en la Antigua Roma|sester]], el [[ámbar (unidad)|amber]], el [[coomb (unidad)|coomb]] y la [[seam (unidad)|seam]]. La enorme cantidad de estas unidades motivó a los reyes británicos a estandarizarlas, lo que culminó en el estatuto [[Assisa panis et cervisiæ]] de 1258 por [[Enrique III de Inglaterra]]. El estatuto estandarizó el peso, la longitud y el volumen, además de introducir el peny, la onza, la libra, el galón y el bushel.<ref name=":3" />{{Rp|page=|pages=73–74}} En 1618, la '' [[Farmacopea|Farmacopea de Londres]]'' (catálogo de compuestos medicinales) adoptó el galón romano<ref name=":5">{{Cite web |date=4 Feb 2020 |title=Balanzas, Pesos y Medidas |url=https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |access-date=2022-08-13 |website=[[Royal Pharmaceutical Society]] |page=1 |archive-date=20 de mayo de 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220520094140/https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |url-status= }}</ref> o ''[[congius]]'''<ref>{{Cite book |last=Cardarelli |first=François |title=Conversión de unidades científicas: Guía práctica del sistema métrico decimal |fecha=6 dic 2012 |editor=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-1-4471-0805-4 |edition=2nd |pages=151 |oclc=828776235}}</ref> como unidad básica de volumen y dio una tabla de conversión a las unidades de peso de los boticarios.<ref name=":5" /> Por esta época, las mediciones de volumen son cada vez más precisas y la incertidumbre se reduce a entre 1–5 mL (0.03–0.2 US fl oz; 0.04–0.2 imp fl oz).<ref name=":3" />{{Rp|page=8}}

Hacia principios del {{siglo|XVII||s}}, [[Bonaventura Cavalieri]] aplicó la filosofía del cálculo integral moderno para calcular el volumen de cualquier objeto. Ideó el [[principio de Cavalieri]], según el cual el uso de cortes cada vez más finos de la forma haría que el volumen resultante fuera cada vez más exacto. Esta idea sería ampliada posteriormente por [[Pierre de Fermat]], [[John Wallis]], [[Isaac Barrow]], [[James Gregory (matemático)|James Gregory]], [[Isaac Newton]], [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] y [[Maria Gaetana Agnesi]] en los siglos {{Siglo|XVII}} y {{Siglo|XVIII}} para formar el cálculo integral moderno que se sigue utilizando en el {{siglo|XXI||s}}.<ref name=":2" />{{Rp|page=404}}

== Unidades de volumen ==
Existen multitud de unidades de volumen escalar, que se utilizan dependiendo del contexto o de la finalidad de la medición. En los ámbitos académicos o técnicos se suelen emplear el [[metro]] y sus derivados. Para expresar el volumen de sustancias [[Líquido|líquidas]] o [[gas]]eosas, e incluso para mercancías a [[granel]], se suele recurrir a la capacidad del recipiente que lo contiene, medida en [[litro]]s y sus derivados. En ocasiones, cuando la [[densidad]] del material es constante y conocida, se pueden expresar las cantidades por su equivalente en [[peso]] en lugar de en volumen.

Muchas de las unidades de volumen existentes se han empleado históricamente para el [[comercio]] de mercancías o para el uso diario. Aun compartiendo el mismo nombre, muchas unidades varían significativamente de una región a otra.<ref name="RO_1852">{{Cita web
 | url = http://www.cem.es/sites/default/files/00000458recurso.pdf
 | título = Real Orden de 9 de diciembre de 1852, por la que se determinan las tablas de correspondencia recíproca entre las pesas y medidas métricas y las actualmente en uso (Diccionario jurídico-administrativo. Madrid, 1858)
 | fechaacceso = 19 de agosto de 2013
 | formato = pdf
 | fechaarchivo = 26 de junio de 2012
 | urlarchivo = https://web.archive.org/web/20120626112247/http://www2.cem.es/sites/default/files/00000458recurso.pdf
 | deadurl = yes
}}</ref>

=== Sistema Internacional de Unidades ===
En el [[Sistema Internacional de Unidades]] la unidad de volumen es el [[metro cúbico]].<ref>{{Cita web
 |url          = http://www.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-1.html
 |título       = Derived units expressed in terms of base units
 |editorial    = Oficina Internacional de Pesas y Medidas
 |fechaacceso  = 19 de agosto de 2013
 |urlarchivo   = https://web.archive.org/web/20120716204202/http://www1.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-1.html
 |fechaarchivo = 16 de julio de 2012
}}</ref>

Algunos de los [[Prefijos del Sistema Internacional|múltiplos y submúltiplos]] usuales del metro cúbico son los siguientes:
{| class="wikitable" |
! Múltiplos !! Submúltiplos
|-
|
* [[Kilómetro cúbico]] = 10<sup>9</sup>{{esd}}m³
* [[Hectómetro cúbico]] = 10<sup>6</sup>{{esd}}m³
* [[Decámetro cúbico]] = 10<sup>3</sup>{{esd}}m³
|
* [[Decímetro cúbico]] = 10<sup>−3</sup>{{esd}}m³
* [[Centímetro cúbico]] = 10<sup>−6</sup>{{esd}}m³
* [[Milímetro cúbico]] = 10<sup>−9</sup>{{esd}}m³
|}

La unidad más utilizada para medir el volumen de [[líquido]]s o [[recipiente]]s es el [[litro]]. El litro está admitido en el S.I. aunque estrictamente no forma parte de él.<ref>{{Cita web
 |url          = http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/appendix1/decisions_terminology/4-4.html
 |título       = Units accepted for use with the SI: an example, the litre
 |editorial    = Oficina Internacional de Pesas y Medidas
 |fechaacceso  = 19 de agosto de 2013
 |urlarchivo   = https://web.archive.org/web/20120716202724/http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/appendix1/decisions_terminology/4-4.html
 |fechaarchivo = 16 de julio de 2012
}}</ref>

=== Sistema anglosajón de medidas ===
Las unidades de volumen en el [[sistema anglosajón de unidades]] se derivan de las respectivas unidades de longitud, como la [[pulgada cúbica]], el [[pie cúbico]], la [[yarda cúbica]], el [[acre-pie]] o la [[milla cúbica]]. Para medir el volumen de líquidos, las unidades de capacidad más extendidas son el [[Barril (unidad)|barril]], el [[galón]] y la [[pinta]], y en menor medida la [[onza líquida]], el [[cuarto (unidad de volumen)|cuarto]], el [[Gill (unidad de volumen)|gill]], el [[minim]] o el [[escrúpulo líquido]].<ref>{{Cita web
 | url = http://www.legislation.gov.uk/uksi/1995/1804/made
 | título = WEIGHTS AND MEASURES. The Units of Measurement Regulations 1995
 | editorial = legislation.gov.uk
 | fechaacceso = 19 de agosto de 2013
}}</ref>

=== Otras unidades de volumen ===
A lo largo de la historia, se han utilizado diferentes unidades de volumen que varían de una cultura a otra. En general, en casi todas ellas existían dos tipos de medida de volumen: para líquidos y para sólidos. Incluso el [[sistema métrico decimal]] original las definió como unidades diferentes: el [[litro]] (igual a 1{{esd}}dm³) para líquidos y el [[estéreo (unidad)|estéreo]] (igual a 1{{esd}}m³) para sólidos. Físicamente son equivalentes y actualmente no se establecen diferencias, pero antiguamente la medida, como concepto, estaba indisociablemente unida al método para llevarla a cabo (el diccionario académico recogíi hasta 1956 ‘lo que sirve para medir’ como una acepción de ''medida''): así, el volumen se basaba en tomar las medidas longitudinales del cuerpo sólido y luego operar, mientras que la capacidad se basaba en lo que podían contener recipientes de determinados tamaños.

En la [[Antigua Grecia]] se utilizaban el [[dracma medicinal|dracma líquido]] o la [[metreta]]. En la antigua Roma se empleaban [[medidas de capacidad romanas|medidas]] como el ánfora, el [[sextario]] o la [[hemina]]. En el [[antiguo Egipto]] la medida empleilizada era el [[heqat]]. En [[Castilla]]s<ref name="RO_1852" /> Usaban [[Antiguas medidas españolas|unidades tradicionales]] como la [[Arroba (unidad de volumen)|arroba]], la [[cántara]], el [[celemín]] o la [[fanega]], algunas de las cuales permanecen en uso hoy en día.

En el ámbito [[Arte culinario|culinario]], especialmente en los países anglosajones y los que están bajo su influencia, es habitual emplear medidas de volumen dependientes de los distintos recipientes de utilización frecuente, pero sin una definición precisa, como la [[cucharada]], la [[cucharadita]] o la [[taza (unidad de volumen)|taza]]. Esta costumbre proviene de la falta de medidores de peso (balanzas) de suficiente precisión, tales como las que ahora existen.

En [[medicina]] y en [[enfermería]], el volumen de una [[Gota (unidad de volumen)|gota]] está definido con un diámetro estandarizado (1{{esd}}mililitro son aproximadamente 20{{esd}}gotas), pero no así en [[farmacia]], pues, dependiendo del diámetro del dosificador de un medicamento, la equivalencia puede estar entre 15 y 40{{esd}}gotas por mililitro.<ref>Hospital Universitario Virgen Macarena «[http://hospitalesmacarenayrocio.es/unidades/index.php/farmaciahuvm/informaci%C3%B3n-general/68-tabla-de-equivalencias-entre-gotas-y-mililitros Tabla de equivalencia entre gotas y mililitros]». {{Wayback |url=http://hospitalesmacarenayrocio.es/unidades/index.php/farmaciahuvm/informaci%C3%B3n-general/68-tabla-de-equivalencias-entre-gotas-y-mililitros |date=20190212070511}} Atención a pacientes externos, farmacia.</ref>

== Volumen de figuras simples ==
La siguiente tabla muestra la [[fórmula (expresión)|expresión matemática]] que relaciona el volumen con las dimensiones de [[Figura geométrica|figuras geométricas]] comunes:

{| class="wikitable"
|-
! colspan = 3 | [[Fórmula (expresión)|Fórmulas]] comunes para el volumen
|-
! Figura
! Fórmula
! Variables
|-
|[[Ortoedro]]
|<math>V = l b h</math>
|''l'' = largo, ''b'' = ancho, ''h'' = altura
|-
| [[Cubo]]
|<math>V = l^3 </math>
|''l'' = longitud del lado
|-
|[[Cilindro]] (prisma circular)
|<math>V = \pi r^2 h</math>
|''r'' = radio de la cara circular, ''h'' = distancia entre caras
|-
|[[Prisma (geometría)|Prisma]] de sección transversal constante en toda su altura
|<math>V = A h</math>
|''A'' = área de la base, ''h'' = altura
|-
| [[Esfera]]
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3</math>
|''r'' = radio de la esfera, que es la primera [[integral]] de la [[fórmula (expresión)|fórmula]] para el área superficial de una esfera
|-
| [[Elipsoide]]
|<math>V = \frac{4}{3} \pi abc</math>
|''a'', ''b'', ''c'' = semiejes del elipsoide
|-
| [[Pirámide (geometría)|Pirámide]]
|<math>V = \frac{1}{3} A h</math>
|''A'' = área de la base, ''h'' = altura de la base al vértice superior
|-
| [[Cono (geometría)|Cono]] (pirámide de base circular)
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h</math>
|''r'' = radio del círculo de la base, ''h'' = distancia de la base al tope
|}

El volumen de un [[paralelepípedo]] es el valor absoluto del [[triple producto escalar]] de los vectores correspondientes a tres [[Arista (geometría)|aristas]] concurrentes, y es equivalente al valor absoluto del [[Determinante (matemática)|determinante]] de la [[matriz (matemática)|matriz]] que forman los tres vectores.

== Definición matemática ==
=== Espacios euclidianos ===
[[Matemáticas|Matemáticamente]], el volumen de una región del [[espacio euclídeo]] es la cantidad de espacio [[tridimensional]] obtenida por [[Integral múltiple|triple integración]] del [[Forma diferencial|elemento diferencial]] de volumen extendida a dicho dominio. Así el volumen de un cuerpo o región tridimensional <math>R \subset \R^3</math> viene dado por:
{{ecuación|
<math>\mathrm{Vol}(R) = \int_R \mathrm{d}V =
\int_R \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z =
\int_{\R^3} \chi_R(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z</math>
||left}}
donde <math>\chi_R</math> es la función característica de la región ''R'':
{{ecuación|
<math>\chi_R(x,y,z) =
\begin{cases} 1& (x,y,z)\in R\\ 0& (x,y,z)\notin R \end{cases}</math>
||left}}
Dicha noción se puede generalizar a espacios de [[Dimensión|dimensiones]] superiores (véase [[hipervolumen]]).

=== Variedades riemannianas ===
En [[geometría de Riemann|otras geometrías]], se deben considerar los [[Geometría diferencial|efectos locales]] de la [[Espacio métrico|métrica]], expresados mediante el [[tensor métrico]], sobre el elemento diferencial de volumen. Dada una [[variedad de Riemann|subvariedad de Riemann]] (con [[clausura topológica|clausura]] [[conjunto compacto|compacta]]) ''M'' de dimensión 3 su volumen, viene dado por la integración de la una [[forma diferencial|3-forma]] <math>\eta</math>:
{{ecuación|
<math>\mathrm{Vol}(M) = \int_M \eta, \qquad \eta =
\sqrt{g}\ \eta_{ijk} \mathrm{d}x^i \land \mathrm{d}x^j \land \mathrm{d}x^k </math>
||left}}
Donde ''g'' es precisamente el determinante del [[tensor métrico]] definido en toda la subvariedad riemanniana.

=== Generalizaciones ===
Dado un subconjunto [[espacio compacto|compacto]] del espacio euclídeo tridimensional o de una variedad riemanniana de dimensión{{esd}}3 puede definirse el volumen de dicho [[subconjunto]] mediante la [[Dimensión de Hausdorff-Besicovitch|medida de Hausdorff-Besicovitch]] para definir el volumen dicho subconjunto. El número calculado así será un número del intervalo <math>\scriptstyle [0,\infty)</math>.

== Véase también ==
* [[Área]]
* [[Unidad de medida]]
* [[Metrología]]
* [[Geometría]]
* [[Análisis volumétrico]]
* [[Masa]]

== Referencias ==
{{listaref|2}}

=== Enlaces externos ===
{{Commonscat|Volume}}
{{Wikiquote|tamaño|tamaño (volumen)}}
{{RAE|volumen}}


[[Categoría:Geometría]]