Ver el código de «Cuadrado»

[[File:Regular polygon 4 annotated.svg|mini|Un cuadrado y sus ángulos principales]]
[[Archivo:Ybc7289-bw.jpg|mini|Tablilla de barro Ybc7289 datada el 1800&nbsp;a.&nbsp;C. donde se muestra un cuadrado y sus diagonales.]]

Un '''cuadrado''' es un [[polígono]] cuadrilátero [[Polígono regular|regular]], es decir, una [[figura plana]] de cuatro lados congruentes y paralelos dos a dos, y cuatro [[Ángulo interior|ángulos interiores]] rectos (90°), por lo que también cumple con la definición de [[rectángulo]] y [[paralelogramo]].<ref>{{Cita libro|apellidos=García|nombre=Santiago|título=Educación Plástica y Visual I - E.S.O|url=https://books.google.es/books?id=1IGcAwAAQBAJ&pg=PA119&dq=cuadrado++es+un+cuadril%C3%A1tero+regular&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwjC356JmM7ZAhWMuxQKHTO0C_sQ6AEIPzAE#v=onepage&q=cuadrado%20%20es%20un%20cuadril%C3%A1tero%20regular&f=false|fechaacceso=2 de marzo de 2018|fecha=27 de julio de 2011|editorial=Editex|isbn=9788497715690|idioma=es|apellidos2=Horna|nombre2=Luis de|apellidos3=Serna|nombre3=José Luis}}</ref><ref>{{Cita DLE|cuadrado|Cuadrado}}</ref><ref>{{Cita libro |título=Diccionario esencial de las ciencias |editor=Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales |isbn=84-239-7921-0 |año=1999 |editorial=Espsa |cita=Polígono regular de cuatro lados}}</ref><ref>{{Cita libro |título=Enciclopedia didáctica de matemáticas |año=2001 |url=https://archive.org/details/enciclopediadida0000unse_s4d2 |autor= Equipo editorial |editorial=OCEANO|isbn=84-494-0696-X |cita=Paralelogramo de cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales
}}</ref>

También se puede definir como un [[rectángulo]] con dos lados adyacentes de igual longitud. Es el único [[polígono regular]] cuyo [[ángulo interno y externo|ángulo interno]], [[ángulo central#Ángulo central de un polígono regular|ángulo central]], y [[ángulo interno y externo|ángulo externo]] son todos iguales (90°), y cuyas [[diagonales]] son todas iguales en longitud. Un cuadrado con [[Vértice (geometría)|vértices]] ''ABCD'' se denotaría como ◻ABCD.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Square|url=https://mathworld.wolfram.com/Square.html|access-date=2020-09-02|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
== Definición ==
Un cuadrado es una figura geométrica plana que consiste en cuatro puntos unidos por segmentos de igual medida, que encierran una región del plano, formando ángulos rectos.

==Características==
Un [[cuadrilátero]] [[Polígono convexo|convexo]] es un cuadrado [[si y sólo si]] es cualquiera de los siguientes:<ref>Zalman Usiskin y Jennifer Griffin, "La clasificación de los cuadriláteros. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59, {{isbn|1-59311-695-0}}.</ref><ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/ProblemSet1.3.html|title=Problem Set 1.3|website=jwilson.coe.uga.edu|access-date=2017-12-12}}</ref>
* Un [[rectángulo]] con dos lados adyacentes iguales
* Un [[rombo]] con un ángulo vértice recto
* Un [[rombo]] con todos los ángulos iguales
* Un [[paralelogramo]] con un ángulo vértice recto y dos lados adyacentes iguales
* Un [[cuadrilátero]] con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales
* Un cuadrilátero en el que las diagonales son iguales y son bisectrices perpendiculares entre sí (es decir, un rombo con diagonales iguales).
* Un cuadrilátero convexo con lados sucesivos ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' cuya área es <math>A= \tfrac{1}{2}(a^2+c^2)=\tfrac{1}{2}(b^2+d^2).</math><ref name=J2014>Josefsson, Martin, [http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10 "Properties of equidiagonal quadrilaterals"] ''Forum Geometricorum'', 14 (2014), 129-144.</ref>{{rp|Corolario 15}}
=== Propiedades ===
Por ser cuadrilátero, hereda las siguientes propiedades:

*Tiene solo dos diagonales.
*Sus ángulos internos suman 360°.

A partir de la definición euclidiana reducida y aplicando deducción se pueden demostrar las siguientes propiedades del cuadrado:

*Es un [[paralelogramo]].
*Tiene lados opuestos paralelos.
*Sus diagonales tienen la misma longitud.
*Sus diagonales se bisecan en el baricentro.
*Sus diagonales son perpendiculares entre sí.
*Sus diagonales bisecan los ángulos por los que pasa.
*Tiene [[Grupo (matemática)#Segundo ejemplo: un grupo de simetría|cuatro ejes de simetría]] que pasan por el baricentro; un par son perpendiculares a los lados y el otro par contiene las diagonales.

[[Archivo:SimetríasDelCuadrado.svg|150px|centrado]]

== Formulario ==
Fórmulas en función del lado <math>a</math> del cuadrado:
* Perímetro: <math>p=4\cdot a</math>
* Longitud de cada diagonal: <math>d = a\cdot \sqrt{2}</math>
* [[Área]]: <math>A=a^2</math>

Fórmulas en función de la diagonal <math>d</math> del cuadrado:
* Longitud de cada lado: <math>a = d\cdot \frac {\sqrt{2}}{2}</math>
* Perímetro: <math>p=d\cdot 2 \cdot \sqrt{2}</math>
* [[Área]]: <math>A=\frac{d^2}{2}</math>

===Construcciones===
Según [[Símbolo de Schläfli]] se pueden obtener:
*{4/1} es el cuadrado.
*{4,4} es el [[teselado]] del plano.
*{4,3} es el [[cubo]].

[[Archivo:CuadradoInscritoCircunscrito.svg|200px|derecha]]
;Propiedades relativas a la circunferencia inscrita o circunscrita.
* El lado de un cuadrado es igual al [[diámetro]] de la circunferencia inscrita en este.
* La diagonal de un cuadrado es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a este.

====Dual del cuadrado====
* Si se inscribe un cuadrilátero en un cuadrado, colocando los vértices en los puntos medios de los lados de este, resulta el dual, que es otro cuadrado cuya área es la mitad de la del cuadrado exterior.

== Otros datos ==
* Las diagonales de un cuadrado son <math>\sqrt{2}</math> (aproximadamente 1,414) veces la longitud de un lado del cuadrado. Este valor, conocido como [[raíz cuadrada de 2]] o constante de Pitágoras,<ref name=":0" /> fue el primer número que se demostró que era [[número irracional|irracional]].
* Un cuadrado también puede definirse como un [[paralelogramo]] con diagonales iguales que bisecan los ángulos.
* Si una figura es a la vez un rectángulo (ángulos rectos) y un rombo (longitudes de arista iguales), entonces es un cuadrado.
* Un cuadrado tiene un área mayor que cualquier otro cuadrilátero con el mismo perímetro.<ref>{{Cite web|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|title=Vagn Lundsgaard Hansen|last=1999|first=Martin Lundsgaard Hansen, thats IT (c)|website=www2.mat.dtu.dk|access-date=2017-12-12}}</ref>
* Un [[Teselado cuadrado| mosaico cuadrado]] es uno de los tres [[Teselado regular|mosaicos regulares]] del plano (los otros son el [[triángulo equilátero]] y el [[hexágono regular]]).
* El cuadrado pertenece a dos familias de politopos en dos dimensiones: [[hipercubo]] y el [[politopo de cruce]]. El [[símbolo de Schläfli]] para el cuadrado es&nbsp;{4}.
* El cuadrado es un objeto altamente simétrico. Tiene cuatro líneas de [[Simetría especular|simetría de reflexión]] y tiene [[simetría rotacional]] de orden 4 (a través de 90°, 180° y 270°). Su [[grupo de simetría]] es el [[Grupo diedral|grupo diedro]]&nbsp;D<sub>4</sub>.
* Un cuadrado puede estar [[Figura inscrita|inscrito]] dentro de cualquier polígono regular. El único otro polígono con esta propiedad es el [[triángulo equilátero]].
* Si el círculo inscrito de un cuadrado ''ABCD'' tiene puntos de tangencia ''E'' en ''AB'', ''F'' en ''BC'', ''G'' en ''CD'', y ''H'' en ''DA'', entonces para cualquier punto ''P'' en el círculo inscrito,<ref>{{Cite web|url=http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm|title=Clases de Geometría, Problema 331. Cuadrado, Punto sobre la circunferencia inscrita, Puntos de tangencia. Máster de profesor de matemáticas. Universidad, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.|website=gogeometry.com|access-date=2017-12-12}}</ref>
::<math> 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.</math>
* Si <math>d_i</math> es la distancia desde un punto arbitrario del plano al vértice ''i'' de un cuadrado y <math>R</math> es el [[circunradio]] del cuadrado, entonces<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf</ref>

::<math>\frac{d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4}{4} + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}{4} + R^2\right)^2.</math>

* Si <math>L</math> y <math>d_i</math> son las distancias desde un punto arbitrario del plano al centroide del cuadrado y a sus cuatro vértices respectivamente, entonces<ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2021|title=Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances|journal= International Journal of Geometry |volume=10|pages=58–65|url= https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/4.-58-65.pdf }}</ref>

::<math>d_1^2 + d_3^2 = d_2^2 + d_4^2 = 2(R^2+L^2)</math>

:y

::<math> d_1^2d_3^2 + d_2^2d_4^2 = 2(R^4+L^4), </math>
:donde <math>R</math> es el circunradio del cuadrado.
== Coordenadas y ecuaciones ==
[[File:Square equation plot.svg|thumb|right|<math>|x| + |y| = 2</math> trazadas en ''[[coordenadas cartesianas]]''.]]
Las coordenadas de los [[Vértice (geometría)|vértices]] de un cuadrado de lados verticales y horizontales, centrado en el origen y de lado 2 son (±1,&nbsp; ±1), mientras que el interior de este cuadrado está formado por todos los puntos (''x''<sub>i</sub>, ''y''<sub>i</sub>) con {{nowrap|-1 < ''x''<sub>''i''</sub> < 1}} y {{nowrap|-1 < ''y''<sub>''i''</sub> < 1}}. La ecuación
:<math>max(x^2, y^2) = 1</math>

especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa "''x''<sup>2</sup> o ''y''<sup>2</sup>, el que sea mayor, es igual a 1". El [[circunradio]] de este cuadrado (el radio de una circunferencia trazada a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado, y es igual a <math>\sqrt{2}.</math> Luego la [[circunferencia]] tiene la ecuación
<math>x^2 + y^2 = 2.</math>

Alternativamente la ecuación

:<math>\left|x - a\right| + \left|y - b\right| = r.</math>

también se puede utilizar para describir el límite de un cuadrado con centro [[Sistema de coordenadas|coordenadas]] (''a'', ''b''), y un radio horizontal o vertical de ''r''.  El cuadrado tiene, por tanto, la forma de una [[Bola_(matemática)|bola topológica]] según la [[Geometría del taxista|métrica de distancias L<sub>1</sub>]].
==Construcción==
Las siguientes animaciones muestran cómo construir un cuadrado utilizando [[Regla y compás]]. Esto es posible ya que 4 = 2<sup>2</sup>, una [[potencia de dos]].
[[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|left|400px|thumb|Cuadrado en una circunferencia dada]]
{{multiple image
| align = left
| image1 = 01-Quadrat-Seite-gegeben.gif
| width1 = 240
| alt1 =
| caption1 = Cuadrado a una longitud de lado dada,<br />
y ángulo recto utilizando [[Teorema de Tales]]
| image2 = 01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif
| width2 = 213
| alt2 =
| caption2 = Cuadrado en una diagonal dada
| footer =
}}
{{clear}}
== Simetría ==
[[File:Symmetries of square.svg|280px|thumb|Las simetrías diédricas se dividen en función de si pasan por vértices ('''d''' para diagonal) o aristas ('''p''' para perpendiculares) Las simetrías cíclicas de la columna central se etiquetan como '''g''' por sus órdenes de giro centrales. La simetría completa del cuadrado es '''r8''' y la no simetría se etiqueta como '''a1'''.]]
El ''cuadrado'' tiene simetría Dih<sub>4</sub>, [[Orden (teoría de grupos)|orden]] 8. Hay 2 subgrupos diedros: Dih<sub>2</sub>, Dih<sub>1</sub>, y 3 subgrupos [[grupo cíclico|cíclico]]: Z<sub>4</sub>, Z<sub>2</sub>, y Z<sub>1</sub>.

Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior:
* Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes
* Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro [[ángulo recto|ángulos rectos]]
* Un paralelogramo con un ángulo recto y dos lados iguales adyacentes
* Un rombo con un ángulo recto
* Un rombo con todos los ángulos iguales
* Un rombo con diagonales iguales
Estas 6 simetrías expresan 8 simetrías distintas en un cuadrado. [[John Horton Conway|John Conway]] las etiqueta con una letra y un orden de grupo.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Las simetrías de las cosas, {{isbn|978-1-56881-220-5}}. (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono pp. 275-278)</ref>

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para los [[cuadrilátero]]s irregulares. '''r8''' es simetría completa del cuadrado, y '''a1''' no tiene simetría. '''d4''' es la simetría de un [[rectángulo]], y '''p4''' es la simetría de un [[rombo]]. Estas dos formas son [[polígono dual|duales]] entre sí, y tienen la mitad del orden de simetría del cuadrado. '''d2''' es la simetría de un [[trapecio isósceles]], y '''p2''' es la simetría de una [[Cometa (geometría)|cometa]]. '''g2''' define la geometría de un [[paralelogramo]].

Sólo el subgrupo '''g4''' no tiene grados de libertad, pero puede verse como un cuadrado con [[Grafo dirigido| arista dirigida]].

==Cuadrados inscritos en triángulos==
{{Main|Triángulo#Cuadrados}}

Todo [[triángulo agudo]] tiene tres [[figura inscrita|inscritos]] cuadrados (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un [[triángulo rectángulo]] dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo sólo tiene dos cuadrados inscritos ''distintos''. Un [[triángulo obtuso]] sólo tiene un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado mayor del triángulo.

La fracción del área del triángulo que ocupa el cuadrado no es mayor que 1/2.
==La cuadratura del círculo==
La [[cuadratura del círculo]], propuesta por los [[antigüedad clásica| antiguos]] [[Geometría| geómetras]], es el problema de construir un cuadrado con la misma área que un [[círculo]] dado, utilizando sólo un número finito de pasos con [[regla y compás]].

En 1882, se demostró que la tarea era imposible como consecuencia del [[teorema de Lindemann-Weierstrass]], que demuestra que el [[número π]] (π) es un [[número trascendental]] y no un [[número algebraico| número irracional algebraico]]; es decir, no es la [[raíz de una función| raíz]] de ningún [[polinomio]] con  coeficientes [[número racional| racionales]].

==Geometría no euclidiana== 
En [[geometría no euclidiana]], los cuadrados son más generalmente [[polígono]]s con 4 lados iguales y ángulos iguales.

En [[geometría esférica]], un cuadrado es un polígono cuyos bordes son grandes [[arcos de círculo]] de igual distancia, que se encuentran en ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de la [[geometría plana]], los [[ángulo]]s de dicho cuadrado son mayores que un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos más grandes.

En [[geometría hiperbólica]] no existen cuadrados con ángulos rectos. Más bien, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los ángulos rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.

'''Ejemplos:'''
{| class="wikitable" width=850
|[[Image:Tetragonal dihedron.svg|200px]]<br />Dos cuadrados pueden embaldosar la esfera en 2 cuadrados alrededor de cada vértice y ángulos internos de 180°. Cada cuadrado cubre una semiesfera por completo y sus vértices se encuentran a lo largo de un gran círculo. Ello es denominado un  [[dihedro]] cuadrado esférico. El [[símbolo de Schläfli]] es&nbsp;{4,2}.
|[[Image:Square on sphere.svg|200px]]<br />Seis cuadrados pueden cubrir una esfera con 3 de ellos alrededor de cada vértice y con [[ángulos internos]] de 120 grados. Esto se conoce como un cubo esférico. El[[Símbolo de Schläfli]] es&nbsp;{4,3}.
|[[Image:Square on hyperbolic plane.svg|200px]]<br />[[Order-5 square tiling|Squares can tile]] the [[Hyperbolic space|hyperbolic plane]] with 5 around each vertex, with each square having 72-degree internal angles. The [[Schläfli symbol]] is&nbsp;[[Order-5 square tiling|{4,5}]]. In fact,  for any n ≥ 5 there is a hyperbolic tiling with n squares about each vertex.
|}

== Cuadrado cruzado ==
[[File:Tetrahemihexahedron vertfig.png|160px|thumb|Cuadrado cruzado]]
Un '''cuadrado cruzado''' es una [[faceta]] del cuadrado, un polígono auto-intersecante creado eliminando dos aristas opuestas de un cuadrado y volviendo a conectar por sus dos diagonales. Tiene la mitad de simetría que el cuadrado, Dih<sub>2</sub>, orden 4. Tiene la misma [[disposición de vértices]] que el cuadrado, y es [[Figura isogonal| vértice-transitivo]]. Aparece como dos [[Triángulo rectángulo especial#Triángulo 45°–45°–90°| triángulo 45-45-90]] con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

Un cuadrado cruzado se asemeja a veces a una [[Corbata de lazo| pajarita]] o a una [[mariposa]]. El [[Rectángulo#Rectángulos cruzados| rectángulo cruzado]] está relacionado, como faceta del rectángulo, en ambos casos especiales de [[Cuadrilátero| cuadrilátero cruzado]]s.<ref>{{Cite web|url=http://www.technologyuk.net/mathematics/geometry/quadrilaterals.shtml|title=Quadriláteros|last=Wells|first=Christopher J.|website=www.technologyuk.net|language=en|access-date=2017-12-12}}</ref>

El interior de un cuadrado cruzado puede tener una [[Densidad (politopo)#Polígonos| densidad de polígonos]] de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del arrollamiento como sentido horario o antihorario.

Un cuadrado y un cuadrado cruzado tienen las siguientes propiedades en común:
* Los lados opuestos son iguales en longitud.
* Las dos diagonales son iguales en longitud.
* Tiene dos líneas de simetría reflexional y simetría rotacional de orden 2 (por 180°).

Existe en la [[figura de vértice]] de un [[poliedro estrellado uniforme]], el [[tetrahemihexaedro]].

== Véase también ==
* [[Cubo]]
* [[Área]]
* [[Anexo:Figuras geométricas]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Enlaces externos ==
{{wikcionario|cuadrado}}
{{Wikiversity|Dibujo técnico/Construcción del cuadrado}}
* {{MathWorld |id=Square |title=Cuadrado}}
* [https://web.archive.org/web/20150402093715/http://www.scm.org.co/aplicaciones/revista/Articulos/833.pdf ¿Cómo se construye un cuadrado? el análisis de una síntesis euclidiana. Clara Helena Sánchez B. Universidad Nacional de Colombia, Bogotá]

[[Categoría:Polígonos]]